Algebra Superior: Aprendiendo álgebra

"Universidad Hipócrates"

Álgebra Superior

Profesora: Ing. Olga Ma. Testa Rodríguez

Temas:

Relación
Funciones
Combinación y Permutación.
Álgebra Matricial

Elaborador por: Fidel Ulises López Hernández LAM2

Índice

Introducción

Conjuntos

Operaciones con conjuntos

Relación

Función

Combinación

Permutación

Álgebra matricial

Introducción

Álgebra Superior:

El álgebra ( del árabe 'reintegración, recomposición') estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas teniendo en cuenta de hay ciertas reglas la cuales tienen que cumplirse. Originalmente esos elementos podían ser interpretados como números o cantidades.

El conocimiento del álgebra superior es indispensable para la formación matemática. Como principio, en cuanto las formas que s desarrollan en esta materia se encuentran los conjuntos y en especial los conjuntos numéricos.

En álgebra superior se presentan los métodos generales de análisis y resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales así como los conceptos fundamentales de la teoría de ecuaciones:

Álgebra Lineal
Álgebra Abstracta
Topología General y Algebraica

Conjuntos

Conjuntos: Es una colección de datos que compartes características similares. Para denotar un conjunto se utilizan letras mayúsculas. En el siguiente se ve un conjunto llamado A el cual contiene los elementos que están dentro de las {} (llaves) en este caso son los elementos del conjunto son: 1,2,3,4,5,6,7

A= {0,1,2,3,4,5,6,7}

Operaciones con conjuntos

Teniendo en cuenta que tenemos 2 conjuntos

A={Lunes, Martes, Miércoles, Viernes, Domingo}

B={Martes, Jueves, Sábado, Jueves}

A través de estos conjuntos realizaremos las 4 operaciones básica

UNIÓN (U): La unión se representa por U y se listan todos los elementos de ambos conjuntos pero sin repetir aquellos que se encuentren en ambos conjuntos.

A U B={Lunes. Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado, Domingo}

INTERSECCIÓN ( $\cap$ ): La intersección se representa por el símbolo

\cap y se listan solo aquellos elementos que se repiten en ambos conjuntos.

\cap B ={ Domingo, Martes}

DIFERENCIA (-): La diferencia se representa por - y se listan los elementos que no se repiten en el otro conjunto es decir en A-B solo se listan los elementos de A que no se encuentran en B.

A - B ={ Lunes, Miércoles, Viernes}

COMPLEMENTO ( ' ) : El complemento se representa por ' y se define como

U - El conjunto, Se listan todos los elementos que le hacen falta al conjunto para llegar a ser el universo Teniendo en cuenta que el conjunto universo es la totalidad de datos, en este caso son todos los días de la semana.

A´ = U - A = { Jueves, Sábado}

Vídeo de operaciones entre conjuntos .

Aplicaciones y usos de los números imaginarios son usados en modelamientos matemáticos de procesos físicos entre esos procesos esta el análisis de corriente eléctrica y señales electrónicas. En matemáticas un numero imaginario cuya parte real es igual a cero. Un numero imaginario puede describirse como el producto de un numero real por la unidad imaginaria i donde la letra i se denota como la raíz cuadrada de -1.

La siguiente imagen nos muestran como se representan graficamente los conjuntos.

donde:
C   Representa los complejos
i    los números imaginarios
R   los números reales
I    los números Irracionales
Q  los números Racionales
Z   los números Enteros
N los números Naturales.

Relaciones y funciones

Entender los conceptos de Relación y de Función es de suma importancia en Matemática.

Para lograr esa comprensión es necesario adentrarnos en la noción de Correspondencia, ya que esta tiene un papel fundamental en las relaciones y funciones.

Lo primero es entender que Correspondencia es equivalente a Relación. En nuestra lengua, decir “en relación a”, es equivalente a decir “corresponde a”.

Ejemplos:

En una tienda comercial, cada artículo está relacionado con su precio; o sea, a cada artículo le corresponde un precio.

En la guía telefónica, cada cliente está relacionado con un número; o sea, a cada nombre de la guía le corresponde un número.

Relación

En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango.

Existen 3 tipos de relación:

Uno a uno

Se toma en cuenta que A solo se relacionara una sola vez con B y también que B solo se relacionara solo una vez con A.

Uno a varios

Se toma en cuenta que que el conjunto A se relacionara mas de una vez con el conjunto B.

Varios a Uno

Se toma en cuenta que conjunto los elemetos del conjunto A se relacionaran con un elemnto del conjunto B.

Función

Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.

De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones

También debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función.

Funciones: Sea A y B conjuntos f: A ⇒ B.

Es una relación R en AxB que satisface:

I. D_R= A; es decir para todo x que pertenece al conjunto A existe una pareja (x,y) ∈ R.

II. Cada elemento de x que pertenece al conjunto A tiene asociado uno solo de B; Es decir (X₁,Y₁) ∈ R y (X₂,Y₂) ∈ R ⇒ que Y₁=Y₂ .

Relación de equivalencia:

1 . Reflexividad

2 . Simetría

3 . Transitiva

Relación de equivalencia característica (propiedades)

Reflexiva. ∀a ∈ C; a R a

(a Esta relacionado con a)

Ejemplo: El conjunto de los alumnos que se encuentra en su salón de clases.

S={Pedro, Javier, Esteban}

R=Esta en la misma ubicación.

Pedro R Pedro

Javier R Javier

Esteban R Esteban

Simétrica. ∀a, b ∈ C; a R b ⇔ b R a

(b Esta relacionado con a)

Ejemplo Pedro R Javier ⇒ Javier R Pedro

Transitiva. ∀a, b, c ∈ C; (a R b) ∧ (b R c) ⇒ (a R c)

Ejemplo: Pedro R Javier y Javier R Esteban ⇒ Esteban R Pedro

Relación de orden parcial

Para todos los elementos A y B q ∈ X

En matemáticas una relación Binaria sobre un conjunto x es anti-simétrica si se cumple que para todo a y b pertenecientes a x si esto relacionado con b y b está relacionado a entonces a = b.

Ejemplo 5>3 No es simétrica porque 3 no es > 5

Funciones:

Intuitiva mente una función es una regla que asocia elementos de un conjunto A con elementos de un conjunto B de modo que el elemento del conjunto A se asocia con uno y solo uno el elemento del segundo conjunto.

Sea A y B dos conjuntos de una función de A en B es un conjunto de pares ordenados de AXB (a,b) con la propiedad de que cada elemento de A es el primer componente de una pareja ordenada a ∈ A, si (a,b) y (a,c) pertenece a f entonces b=c (porque a no se repite en otra pareja ).

a= Dominio de la función.

b= Codominio de la función.

Ejemplo: sea la función Y= 3X²

Dominio ={ R } = (-∞ , +∞)

Codominio = [ 0 , + ∞ )

Dominio de una función es un conjunto de los valores que puede tomar x para que exista la función.

Codominio o Rango de una función es el conjunto de los valores que se obtienen al sustituir los valores del dominio de la función.

Dominio y Codominio de funciones constantes: y=c
y=5
El dominio y codominio de esta funcion siempre sera 5 por ser constante
Dominio={5}
Codominio={5}
Dando origen ala siguiente gráfica:

Funcion Lineal:
Las funciones lineales se caracterizan por que el maximo exponente en sus incognitas es de 1, y para estas funciones sus dominio y codominio simepre sera los numeros reales.

Ejemplo: y= 5x+4
Dominio={R}=( - ∞, + ∞)
Codominio={R}=( - ∞, + ∞)
Dando origen a la siguiente gráfica:

Otro ejemplo de funcion lineal
y=-3x+8
Dominio={R}=( - ∞, + ∞)
Codominio={R}=( - ∞, + ∞)

Tipos de funciones

Función Sobreyectiva:

En matemáticas una función f: x ⇒ y es sobreyectiva (epiyectiva, suprayactiva, suryectiva, exhaustiva, o subyactiva) si están aplicadas sobre todo el codominio es decir cuando cada elemento de "y" es la imagen de como mínimo un elemento de x

Graficamente podemos representar a esta función de la siguiente manera:

Función Inyectiva:

Nota: también se le llama uno a uno pero esto se confunde porque suena un poco como si fuera biyectiva.

Función Inyectiva

Una Función f: x ⇒ y es inyectiva si a cada valor del conjunto x (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto y (imagen de "f" es decir si a cada elemento del conjunto "y" le corresponde un valor de x tal que en el conjunto x no puede haber 2 o mas elementos que tengan la misma imagen.

Graficamente lo podemos representar de la siguiente manera:

Función Biyectiva:

En matemáticas una función biyectiva si al mismo tiempo es inyectiva y sobreyectiva; es decir si todos los elementos del conjunto de llegada y cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

\forall y \in Y \; : \quad \exists !\ x\in X \; / \quad f(x) = y

Es decir, si para todo

y

Y

se cumple que existe un único

x

X

, tal que la función evaluada en

x

es igual a

y

.
Dados dos conjuntos

X

Y

finitos, entonces existirá una biyección entre ambos si y sólo si

X

Y

tienen el mismo número de elementos.
Graficamente lo podemos representar de la siguiente manera:

Funciones cuadráticas

Se consideran funciones cuadráticas cuando el máximo y mínimo exponente de las variables e 2, las ecuaciones cuadráticas son funciones sobreyectivas.

Ejemplo:

Y= 4X²+5X -8
Si le damos valores a x nos resultara la gráfica siguiente:

Para esta función podemos observar claramente en la gráfica que su Dominio = {R} y su codominio [ -9, +∞)

Otro ejemplo

Y= 10X²-5

De igual manera si le damos valores a x nos resultara una gráfica idéntica ala siguiente:

Para esta función podemos observar que su dominio={R} y su codominio [-5, +∞).

Funciones Polinomiales:

Se considera como una función polinomial a aquella función que tenga como exponente mínimo el 3 es decir a partir de tercer grado se considera una función polinomial.

Ejemplo de una función polinomial:

Y= 3X³ +4X² +5

Dando valores a X y al graficar obtendremos la siguiente gráfica:

La función anterior es una función Biyectiva

Dominio={R}

Codominio={R}

Nota: Para poder declarar si una función es inyectiva o sobreyectiva. Solo basta con graficar y trazar una linea paralela al eje de las x, si toca en mas de una ocasión la gráfica sera una función sobreyectiva en caso contrario sera una función inyectiva, la única ocasión que se tratara de una función biyectiva es cuando se delimiten los con los datos a trabajar y solo graficar aquellos que cumplan la condición.

Combinación.

Los coeficientes binomiales, números combinatorios o combinacionesson números estudiados en combinatoria que corresponden al número de formas en que se pueden extraer subconjuntos a partir de un conjunto dado. Sin embargo, dependiendo del enfoque que tenga la exposición, se pueden usar otras definiciones equivalentes.

El coeficiente binomial

{n\choose k}

es el número de subconjuntos de k elementos escogidos de un conjunto con n elementos donde no importa el orden.

{n\choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}

Donde n= número total de datos

Donde K= Número de datos tomados

Ejemplo:

De los 15 miembros de la junta directiva de una empresa ¿cuantos comités de 5 miembros pueden seleccionarse si el orden no importa?

Desarrollando la operación tendríamos 3003 posibilidades de formar el comité.

Permutación

En matemáticas, una permutación es la variación del orden o de la disposición de los elementos de un conjunto.

Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".

La definición intuitiva de permutación, como ordenamientos o arreglos de los elementos de un conjunto se formaliza con el uso del lenguaje de funciones matemáticas.

Una permutación de un conjunto X es una función biyectiva de dicho conjunto en sí mismo.

Donde n= Numero total de elementos

Donde K= Numero de elementos que se toma.

Ejemplo:

De los 10 ejecutivos van a ser seleccionados para que sirvan como presidente, vicepresidente y tesorero ¿Cuántas selecciones distintas sera posible?

Como resultado tendríamos 720 formas diferentes de formar el comité.

Matrices y Determinantes.

Matriz: definición
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =[aij], con i =1, 2,..., m; j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

Matrices Iguales
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.
Sean las matrices A y B, donde:

Algunos tipos de matrices
Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.

Según la forma
Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m x 1.

Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1x n. Es decir, A= (a11 a12 ... a1n).

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n x n (aunque es lo mismo). Los elementos aij con i = j, o sea aij forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, su matriz se representa por At, la cual se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera columna de At, la segunda fila de A es la segunda columna de At y así sucesivamente. De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n x m.

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aj= aj

La matriz anterior es simétrica porque si representamos su transversal resultara la misma matriz.

Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada se dice que es antisimétrica si A = –At, es decir aij= -aji.

La matriz anterior es antisimétrica porque al hacer su transversal resultan los mismos números pero con signo contrario.

Según los elementos
Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.

Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Operaciones entre matrices

Suma y Resta

Si las matrices A=(aij) y B=(bij) tienen la misma dimensión, la matriz suma es:

A+B=(aij+bij).

La matriz suma se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.

Propiedades de la suma de matrices

Interna:

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

Asociativa:
A + (B + C) = (A + B) + C

Elemento neutro:
A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

Elemento opuesto:
A + (−A) = O
La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

Conmutativa:
A + B = B + A

Multiplicación de matrices:

Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

Mm x n x Mn x p = M m x p

El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Propiedades de la multiplicación de matrices

Asociativa:
A · (B · C) = (A · B) · C

Elemento neutro:
A · I = A
Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.

No es Conmutativa:
A · B ≠ B · A

Distributiva del producto respecto de la suma:
A · (B + C) = A · B + A · C

División de matrices

La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB^-1:

Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar.

Ejemplo: